2019년 고2 11월 모의고사 (가형) 17번 풀이

다음은 21 이하의 서로 다른 4 개의 자연수 a , b , c , d\:( a < b < c < d ) 에 대하여 2b = a + d 를 만족시키는 모든 순서쌍 ( a,\:b,\:c,\:d ) 의 개수를 구하는 과정이다. 세 자연수 a , b , d 는 2b = a + d 를 만족시키므로 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 2 , 가장 큰 값은 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 이 등차수열의 공차를 k \left( 2 \le k \le \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \right) 라 하면 a < a + k < c < a + 2k 이므로 c 가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 k - 1 이고 a 가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 구하는 모든 순서쌍 ( a,\:b,\:c,\:d ) 의 개수는 \displaystyle \sum _{ k = 2 }^{\tiny\fbox{\:\text{(가)}\:}}\left\{(k-1)\times \left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)\right\}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q 라 하고, (나)에 알맞은 식을 f ( k ) 라 할 때, p + q + f ( 3 ) 의 값은? ① 304 ② 307 ③ 310 ④ 313 ⑤ 316