2020년 고3 3월 모의고사 (나형) 14번 풀이

세 숫자 1 , 2 , 3 만을 사용하여 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 세 숫자 1 , 2 , 3 을 모두 한 번 이상씩 사용하고 숫자 2 를 반드시 짝수 번째 자리에만 오도록 놓는 경우의 수를 구하려고 한다. 다음은 이것을 구하는 과정의 일부이다. 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는 세 군데이므로 숫자 2 는 많아야 세 번 사용할 수 있다. (i) 숫자 2 를 한 번 사용한 경우 2 를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 또는 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 3 또는 1 , 1 , 1 , 3 , 3 , 3 또는 1 , 1 , 3 , 3 , 3 , 3 또는 1 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 2 를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 \\_{3}\text{C}_{1} 이다. 그러므로 숫자 2 를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(나)}\quad} 이다. (ii) 숫자 2 를 두 번 사용한 경우 \vdots (중략) (iii) 숫자 2 를 세 번 사용한 경우 2 를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 1 , 3 을 모두 한 번 이상씩 사용하여 나열한 것이므로 그 경우의 수는 \boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 구하는 경우의 수는 290 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, p+q+r 의 값은? ① 262 ② 267 ③ 272 ④ 277 ⑤ 282