2020년 고3 4월 모의고사 (가형) 20번 풀이

집합 X=\{1 ,\: 2 ,\: 3 ,\: 4 ,\: 5\} 에 대하여 함수 f : X \to X 의 치역을 A , 합성함수 f\circ f 의 치역을 B 라 할 때, 두 집합 A , B 가 다음 조건을 만족시킨다. \circ\:n(A) \ge 3 \circ 집합 A 의 모든 원소의 합이 3 의 배수이다. \circ\:n(A) > n(B) 다음은 함수 f 의 개수를 구하는 과정이다. (ⅰ) n(A)=3 이고 모든 원소의 합이 3 의 배수인 집합 A 는 \{1 ,\: 2 ,\: 3\} , \{1 ,\: 3 ,\: 5\} , \{2 ,\: 3 ,\: 4\} , \{3 ,\: 4 ,\: 5\} 이다. A=\{1 ,\: 2 ,\: 3\} 인 경우 n(B) < 3 이므로 집합 B 는 \{1\} , \{2\} , \{3\} , \{1 ,\: 2\} , \{1 ,\: 3\} , \{2 ,\: 3\} 이다. A=\{1 ,\: 2 ,\: 3\} , B=\{1\} 인 경우 함수 f 의 개수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이고, A=\{1 ,\: 2 ,\: 3\} , B=\{1 ,\: 2\} 인 경우 함수 f 의 개수는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이므로 n(A)=3 , n(B) < 3 이고 집합 A 의 모든 원소의 합이 3 의 배수가 되도록 하는 함수 f 의 개수는 4\times\left (3\times \fbox{\quad\text{(가)}\quad}+3\times \fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right) 이다. (ⅱ) n(A)=4 이고 모든 원소의 합이 3 의 배수인 집합 A 는 \{1 ,\: 2 ,\: 4 ,\: 5\} 뿐이므로 이 경우 n(B) < 4 를 만족시키는 함수 f 의 개수는 \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. (ⅲ) n(A)=5 인 경우 함수 f 는 일대일대응이고 n(B)=5 이므로 n(A) > n(B) 를 만족시키는 함수 f 는 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 f 의 개수는 4\times\left (3\times \fbox{\quad\text{(가)}\quad}+3\times\fbox{\quad\text{(나)}\quad} \right)+\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, p+q+r 의 값은? ① 164 ② 168 ③ 172 ④ 176 ⑤ 180