(2020년 시행) 2021학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (가형) 15번 풀이

수열 \left\{a_{n}\right\} 의 일반항은 a_{n}=\left(2^{2 n}-1\right) \times 2^{n(n-1)}+(n-1) \times 2^{-n} 이다. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}=2^{n(n+1)}-(n+1) \times 2^{-n} \quad\cdots\cdots(\ast) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n=1 일 때, (\text{좌변})=3 , (\text{우변})=3 이므로 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n=m 일 때, (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \displaystyle \sum_{k=1}^{m} a_{k}=2^{m(m+1)}-(m+1) \times 2^{-m} 이다. n=m+1 일 때, \begin{aligned}\displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} a_{k}&= 2^{m(m+1)}-(m+1) \times 2^{-m} \\ & \qquad+\left(2^{2 m+2}-1\right) \times \fbox{\:\text {(가)}\:}+m \times 2^{-m-1} \\& =\fbox{\:\text {(가)}\:}\times \fbox{\:\text {(나)}\:}-\dfrac{m+2}{2} \times 2^{-m} \\&= 2^{(m+1)(m+2)}-(m+2) \times 2^{-(m+1)} \end{aligned} 이다. 따라서 n=m+1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}=2^{n(n+1)}-(n+1) \times 2^{-n} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m) , g(m) 이라 할 때, \dfrac{g(7)}{f(3)} 의 값은? ① 2 ② 4 ③ 8 ④ 16 ⑤ 32