2020년 고3 7월 모의고사 (가형) 16번 풀이

한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 a , b , c 라 하자. a+b+c 의 값을 확률변수 X 라 할 때, 다음은 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 를 구하는 과정이다. 3 \le a+b+c \le 18 이므로 확률변수 X 가 가질 수 있는 값은 3 , 4 , 5 , \cdots , 18 이다. a , b , c 가 각각 6 이하의 자연수이므로 7-a , 7-b , 7-c 는 각각 6 이하의 자연수이다. 3 \le k \le 18 인 자연수 k 에 대하여 a+b+c=k 일 확률 \text{P}(X=k) 와 (7-a)+(7-b)+(7-c)=k 일 확률 \text{P}\left(X=3\times\boxed{\quad\text{(가)}\quad} -k\right) 는 서로 같다. 그러므로 확률변수 X 의 평균 \text{E}(X) 는 \begin{aligned}\text{E}(X)=&\displaystyle\sum_{k=3}^{18}\{k\times\text{P}(X=k)\} \\&=3\times\text{P}(X=3)+4\times\text{P}(X=4)\\&\quad+5\times\text{P}(X=5)+\cdots+17\times\text{P}(X=17)\\&\quad+18\times\text{P}(X=18)\\&=\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\times\sum_{k=3}^{10}\text{P}(X=k) \end{aligned} 이때, 확률질량함수의 성질에 의하여 \displaystyle\sum_{k=3}^{18}\text{P}(X=k)=1 이므로 \displaystyle\sum_{k=3}^{10}\text{P}(X=k)=\boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 \text{E}(X)=\boxed{\quad\text{(나)}\quad}\times\boxed{\quad\text{(다)}\quad} 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, \dfrac{p+q}{r} 의 값은? ① 49 ② \dfrac{105}{2} ③ 56 ④ \dfrac{119}{2} ⑤ 63