2020년 고3 7월 모의고사 (가형) 18번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 8 인 정삼각형 \text{A} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } 의 세 선분 \text{A} _{ 1 } \text{B} _{ 1 } , \text{B} _{ 1 } \text{C} _{ 1 } , \text{C} _{ 1 } \text{A} _{ 1 } 의 중점을 각각 \text{D} _{ 1 } , \text{E} _{ 1 } , \text{F} _{ 1 } 이라 하고, 세 선분 \text{A} _{ 1 } \text{D} _{ 1 } , \text{B} _{ 1 } \text{E} _{ 1 } , \text{C} _{ 1 } \text{F} _{ 1 } 의 중점을 각각 \text{G} _{ 1 } , \text{H} _{ 1 } , \text{I} _{ 1 } 이라 하고, 세 선분 \text{G} _{ 1 } \text{D} _{ 1 } , \text{H} _{ 1 } \text{E} _{ 1 } , \text{I} _{ 1 } \text{F} _{ 1 } 의 중점을 각각 \text{A} _{ 2 } , \text{B} _{ 2 } , \text{C} _{ 2 } 라 하자. 세 사각형 \text{A} _{ 2 } \text{C} _{ 2 } \text{F} _{ 1 } \text{G} _{ 1 } , \text{B} _{ 2 } \text{A} _{ 2 } \text{D} _{ 1 } \text{H} _{ 1 } , \text{C} _{ 2 } \text{B} _{ 2 } \text{E} _{ 1 } \text{I} _{ 1 } 에 모두 색칠하여 얻은 그림을 R _{ 1 } 이라 하자. 그림 R _{ 1 } 에서 삼각형 \text{A} _{ 2 } \text{B} _{ 2 } \text{C} _{ 2 } 에 그림 R_{ 1 } 을 얻은 것과 같은 방법으로 세 사각형 \text{A} _{ 3 } \text{C} _{ 3 } \text{F} _{ 2 } \text{G} _{ 2 } , \text{B} _{ 3 } \text{A} _{ 3 } \text{D} _{ 2 } \text{H} _{ 2 } , \text{C} _{ 3 } \text{B} _{ 3 } \text{E} _{ 2 } \text{I} _{ 2 } 에 모두 색칠하여 얻은 그림을 R _{ 2 } 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R _{ n } 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{ n \to \infty } S_{ n } 의 값은? contenthub figure ① \dfrac { 109 \sqrt { 3 } } { 15 } ② \dfrac { 112 \sqrt { 3 } } { 15 } ③ \dfrac { 23 \sqrt { 3 } } { 3 } ④ \dfrac { 118 \sqrt { 3 } } { 15 } ⑤ \dfrac { 121 \sqrt { 3 } } { 15 }