2020년 고3 7월 모의고사 (가형) 30번 풀이

함수 f(x)=\sin \dfrac{\pi}{2} x 와 0 이 아닌 두 실수 a , b 에 대하여 함수 g(x) 를 g(x)=e^{a f(x)}+b f(x)\:(0 < x < 12) 라 하자. 함수 g(x) 가 x=\alpha 에서 극대 또는 극소인 모든 \alpha 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \alpha_{1} , \alpha_{2} , \alpha_{3} , \cdots , \alpha_{m}\:\left(m\text{은 자연수}\right) 라 할 때, m 이하의 자연수 n 에 대하여 \alpha_{n} 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) n 이 홀수일 때, \alpha_{n}=n 이다. (나) n 이 짝수일 때, g\left(\alpha_{n}\right)=0 이다. 함수 g(x) 가 서로 다른 두 개의 극댓값을 갖고 그 합이 e^{3}+e^{-3} 일 때, m \pi \displaystyle\int_{\alpha_{3}}^{\alpha_{4}} g(x) \cos \dfrac{\pi}{2} x d x=p e^{3}+q e 이다. p-q 의 값을 구하시오. \left(\text{단},\:p\text{와}\:q\text{는 정수이다.}\right)