2020년 고3 7월 모의고사 (나형) 16번 풀이

한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 a , b , c 라 하자. a + b + c 의 값을 확률변수 X 라 할 때, 다음은 확률변수 X 의 평균 \text{E} ( X ) 를 구하는 과정이다. 3 \le a + b + c \le 18 이므로 확률변수 X 가 가질 수 있는 값은 3 , 4 , 5 , \cdots , 18 이다. a , b , c 가 각각 6 이하의 자연수이므로 7 - a , 7-b , 7 - c 는 각각 6 이하의 자연수이다. 3 \le k \le 18 인 자연수 k 에 대하여 a + b + c = k 일 확률 \text{P}( X = k ) 와 ( 7 - a ) + ( 7-b ) + ( 7 - c ) = k 일 확률 \text{P}\left( X = 3 \times \boxed{\quad\text{(가)}\quad}-k \right) 는 서로 같다. 그러므로 확률변수 X 의 평균 \text{E} ( X ) 는 \begin{aligned}\text{E}( X )& = \displaystyle\sum_{k=3}^{18} \{ k \times \text{P} ( X = k )\} \\& = 3 \times \text{P} ( X = 3 ) + 4 \times \text{P} ( X = 4 ) \\&\qquad+ 5 \times P ( X = 5 ) +\cdots+ 17 \times \text{P} ( X = 17 ) \\&\qquad+ 18 \times \text{P} ( X = 18 ) \\&= \boxed{\quad\text{(나)}\quad}\times \displaystyle\sum_{k=3}^{10}\text{P} ( X = k )\end{aligned} 이때, 확률질량함수의 성질에 의하여 \displaystyle\sum_{k=3}^{18}\text{P} ( X = k )= 1 이므로 \displaystyle\sum_{k=3}^{10}\text{P} ( X = k )= \boxed{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 \text{E}( X ) = \boxed{\quad\text{(나)}\quad} \times \boxed{\quad\text{(다)}\quad} 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, \dfrac{p + q}{r} 의 값은? ① 49 ② \dfrac{105}{2} ③ 56 ④ \dfrac{119}{2} ⑤ 63