(2020년 시행) 2021학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (가형) 16번 풀이

모든 자연수 n 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 x 축 위의 점 \text{P}_{n} 과 곡선 y=\sqrt{3x} 위의 점 \text{Q}_{n} 이 있다. \bullet 선분 \text{OP}_{n} 과 선분 \text{P}_{n}\text{Q}_{n} 이 서로 수직이다. \bullet 선분 \text{OQ}_{n} 과 선분 \text{Q}_{n}\text{P}_{n+1} 이 서로 수직이다. 다음은 점 \text{P}_{1} 의 좌표가 (1,\:0) 일 때, 삼각형 \text{OP}_{n+1}\text{Q}_{n} 의 넓이 A_{n} 을 구하는 과정이다. \left(\text{단, O는 원점이다.}\right) contenthub figure 모든 자연수 n 에 대하여 점 \text{P}_{n} 의 좌표를 \left(a_{n},\:0\right) 이라 하자. \overline{\text{OP}_{n+1}}=\overline{\text{OP}_{n}}+\overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}} 이므로 a_{n+1}=a_{n}+\overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}} 이다. 삼각형 \text{OP}_{n}\text{Q}_{n} 과 삼각형 \text{Q}_{n}\text{P}_{n}\text{P}_{n+1} 이 닮음이므로 \overline{\text{OP}_{n}}:\overline{\text{P}_{n}\text{Q}_{n}}=\overline{\text{P}_{n}\text{Q}_{n}}:\overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}} 이고, 점 \text{Q}_{n} 의 좌표는 \left(a_{n},\:\sqrt{3a_{n}}\right) 이므로 \overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}}=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 따라서 삼각형 \text{OP}_{n+1}\text{Q}_{n} 의 넓이 A_{n} 은 A_{n}=\dfrac{1}{2}\times\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)\times\sqrt{9n-6} 이다. contenthub figure 모든 자연수 n 에 대하여 점 \text{P}_{n} 의 좌표를 \left(a_{n},\:0\right) 이라 하자. \overline{\text{OP}_{n+1}}=\overline{\text{OP}_{n}}+\overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}} 이므로 a_{n+1}=a_{n}+\overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}} 이다. 삼각형 \text{OP}_{n}\text{Q}_{n} 과 삼각형 \text{Q}_{n}\text{P}_{n}\text{P}_{n+1} 이 닮음이므로 \overline{\text{OP}_{n}}:\overline{\text{P}_{n}\text{Q}_{n}}=\overline{\text{P}_{n}\text{Q}_{n}}:\overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}} 이고, 점 \text{Q}_{n} 의 좌표는 \left(a_{n},\:\sqrt{3a_{n}}\right) 이므로 \overline{\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}}=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 따라서 삼각형 \text{OP}_{n+1}\text{Q}_{n} 의 넓이 A_{n} 은 A_{n}=\dfrac{1}{2}\times\left(\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right)\times\sqrt{9n-6} 이다.</box>위의 (가)에 알맞은 수를 p , (나)에 알맞은 식을 f(n) 이라 할 때, p+f(8) 의 값은? ① 20 ② 22 ③ 24 ④ 26 ⑤ 28