(2020년 시행) 2021학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (나형) 16번 풀이

모든 자연수 n 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 x 축 위의 점 \text{P}_{n} 과 곡선 y = \sqrt { 3x } 위의 점 \text{Q} _{ n } 이 있다. \bullet 선분 \text{OP} _{ n } 과 선분 \text{P} _{ n } \text{Q} _{ n } 이 서로 수직이다. \bullet 선분 \text{OQ} _{ n } 과 선분 \text{Q} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } 이 서로 수직이다. 다음은 점 \text{P}_{1} 의 좌표가 ( 1,\: 0 ) 일 때, 삼각형 \text{OP} _{ n + 1 } \text{Q} _{ n } 의 넓이 A _{ n } 을 구하는 과정이다. \left(\text{단, O는 원점이다.}\right) contenthub figure 모든 자연수 n 에 대하여 점 \text{P} _{ n } 의 좌표를 \left( a _{ n } ,\: 0 \right) 이라 하자. \overline { \text{OP} _{ n + 1 } } = \overline{ \text{OP} _{ n } } + \overline{ \text{P}_{ n }\text{P} _{ n + 1 } } 이므로 a _{ n + 1 } = a _{ n } + \overline { \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } } 이다. 삼각형 \text{OP} _{ n } \text{Q} _{ n } 과 삼각형 \text{Q} _{ n } \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } 이 닮음이므로 \overline { \text{OP} _{ n } } :\overline { \text{P} _{ n } \text{Q} _{ n } } = \overline { \text{P} _{ n } \text{Q} _{ n } } : \overline { \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } } 이고, 점 \text{Q} _{ n } 의 좌표는 \left( a _{ n } ,\: \sqrt { 3a _{ n } } \right) 이므로 \overline { \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 따라서 삼각형 \text{OP} _{ n + 1 } \text{Q} _{ n } 의 넓이 A _{ n } 은 A _{ n } = \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( \fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right) \times \sqrt { 9n - 6 } 이다. contenthub figure 모든 자연수 n 에 대하여 점 \text{P} _{ n } 의 좌표를 \left( a _{ n } ,\: 0 \right) 이라 하자. \overline { \text{OP} _{ n + 1 } } = \overline{ \text{OP} _{ n } } + \overline{ \text{P}_{ n }\text{P} _{ n + 1 } } 이므로 a _{ n + 1 } = a _{ n } + \overline { \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } } 이다. 삼각형 \text{OP} _{ n } \text{Q} _{ n } 과 삼각형 \text{Q} _{ n } \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } 이 닮음이므로 \overline { \text{OP} _{ n } } :\overline { \text{P} _{ n } \text{Q} _{ n } } = \overline { \text{P} _{ n } \text{Q} _{ n } } : \overline { \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } } 이고, 점 \text{Q} _{ n } 의 좌표는 \left( a _{ n } ,\: \sqrt { 3a _{ n } } \right) 이므로 \overline { \text{P} _{ n } \text{P} _{ n + 1 } } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 따라서 삼각형 \text{OP} _{ n + 1 } \text{Q} _{ n } 의 넓이 A _{ n } 은 A _{ n } = \dfrac { 1 } { 2 } \times \left( \fbox{\quad\text{(나)}\quad}\right) \times \sqrt { 9n - 6 } 이다. </box>위의 (가)에 알맞은 수를 p , (나)에 알맞은 식을 f ( n ) 이라 할 때, p + f ( 8 ) 의 값은? ① 20 ② 22 ③ 24 ④ 26 ⑤ 28