2020년 고3 10월 모의고사 (가형) 18번 풀이

그림과 같이 길이가 4 인 선분 \text{A}_ { 1 } \text{B}_ { 1 } 을 지름으로 하는 반원 \text{O} _{1} 의 호 \text{A}_ { 1 } \text{B}_ { 1 } 을 4 등분하는 점을 점 \text{A} _{1} 에서 가까운 순서대로 각각 \text{C}_{1} , \text{D}_ { 1 } , \text{E}_{1} 이라 하고, 두 점 \text{C}_ { 1 } , \text{E} _{1} 에서 선분 \text{A}_ { 1 } \text{B}_ { 1 } 에 내린 수선의 발을 각각 \text{A}_ { 2 } , \text{B}_{2} 라 하자. 사각형 \text{C}_ { 1 } \text{A}_ { 2 } \text{B}_ { 2 } \text{E}_ { 1 } 의 외부와 삼각형 \text{D}_ { 1 } \text{A}_ { 1 } \text{B}_ { 1 } 의 외부의 공통부분 중 반원 \text{O}_{1} 의 내부에 있는 색칠한 부분 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \text{R} _{1} 이라 하자. 그림 \text{R} _{1} 에서 선분 \text{A}_ { 2 } \text{B}_ { 2 } 를 지름으로 하는 반원 \text{O} _{2} 를 반원 \text{O} _{1} 의 내부에 그리고, 반원 \text{O} _{2} 의 호 \text{A}_ { 2 } \text{B}_ { 2 } 를 4 등분하는 점을 점 \text{A}_{2} 에서 가까운 순서대로 각각 \text{C}_ { 2 } , \text{D}_ { 2 } , \text{E}_{2} 라 하고, 두 점 \text{C}_ { 2 } , \text{E}_{2} 에서 선분 \text{A}_ { 2 } \text{B}_ { 2 } 에 내린 수선의 발을 각각 \text{A}_ { 3 } , \text{B} _{3} 이라 하자. 사각형 \text{C}_ { 2 } \text{A}_ { 3 } \text{B}_ { 3 } \text{E}_ { 2 } 의 외부와 삼각형 \text{D}_ { 2 } \text{A}_ { 2 } \text{B}_ { 2 } 의 외부의 공통부분 중 반원 \text{O}_ { 2 } 의 내부에 있는 색칠한 부분 모양의 도형에 색칠을 하여 얻은 그림을 \text{R} _{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 \text{R} _{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \text{S} _{n} 이라 할 때, \lim \limits _ { n \to \infty } \text{S}_ { n } 의 값은? contenthub figure ① 4 \pi + 4 \sqrt { 2 } - 16 ② 4 \pi + 16 \sqrt { 2 } - 32 ③ 4 \pi + 8 \sqrt { 2 } - 20 ④ 2 \pi + 16 \sqrt { 2 } - 24 ⑤ 2 \pi + 8 \sqrt { 2 } - 12