2020년 고3 10월 모의고사 (가형) 19번 풀이

다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \dfrac { ( - 1 ) ^ { k - 1 }\\_{ n } \text{C} _{ k } } { k } = \sum _{ k = 1 } ^ { n } \dfrac { 1 } { k } \quad\cdots\cdots( \ast ) 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n = 1 일 때 \text{(좌변)}= 1 , \text{(우변)}= 1 이므로 (\ast) 이 성립한다. (ⅱ) n = m 일 때 (\ast) 이 성립한다고 가정하면 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m } \dfrac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } \\ _{ m } \text{C}_{ k } } { k } = \sum _{ k = 1 } ^ { m } \dfrac { 1 } { k } 이다. n = m + 1 일 때, \begin{aligned}& \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } \dfrac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } \\_{m + 1}\text{C} _{ k } } { k } \\&=\sum _{ k = 1 } ^ { m } \dfrac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } \\_{m + 1}\text{C} _{ k } } { k } +\boxed{\quad\text{(가)}\quad}\\& = \sum _{ k = 1 } ^ { m } \dfrac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } \left(\\_{m}\text{C} _{ k } + \\_{ m } \text{C} _{ k - 1 } \right) } { k } + \boxed{\quad\text{(가)}\quad}\\& =\sum _{ k = 1 } ^ { m } \dfrac { 1 } { k } +\sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } \left\{ \dfrac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { k } \times \dfrac { \boxed{\quad\text{(나)}\quad}} { ( m - k + 1 ) ! ( k - 1 ) ! } \right\} \\& =\sum _{ k = 1 } ^ { m } \dfrac { 1 } { k } + \sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } \left\{ \dfrac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { \boxed{\quad\text{(다)}\quad}} \times \dfrac { ( m + 1 ) ! } { ( m - k + 1 ) ! k ! } \right\} \\& = \sum _{ k = 1 } ^ { m } \dfrac { 1 } { k } + \dfrac { 1 } { m + 1 } \\& = \sum _{ k = 1 } ^ { m + 1 } \dfrac { 1 } { k } \end{aligned} 이다. 따라서 n = m + 1 일 때도 (\ast) 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n 에 대하여 (\ast) 이 성립한다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f ( m ) , g ( m ) , h ( m ) 이라 할 때, \dfrac { g ( 3 ) + h ( 3 ) } { f ( 4 ) } 의 값은? ① 40 ② 45 ③ 50 ④ 55 ⑤ 60