2020년 고3 10월 모의고사 (나형) 18번 풀이

3 이상의 자연수 n 에 대하여 집합 A_{n}=\left\{(p ,\: q)\middle | p < q\text{이고 }p,\:q\text{는 }n\:\text{이하의 자연수}\right\} 이다. 집합 A_{n} 의 모든 원소 (p ,\: q) 에 대하여 q 의 값의 평균을 a_{n} 이라 하자. 다음은 3 이상의 자연수 n 에 대하여 a_{n}=\dfrac{2n+2}{3} 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (ⅰ) n=3 일 때, A_{3}=\{(1 ,\: 2),\:(1 ,\: 3),\:(2 ,\: 3)\} 이므로 a_{3}=\dfrac{2+3+3}{3}=\dfrac{8}{3} 이고 \dfrac{2+3+3}{3}=\dfrac{8}{3} 이다. 그러므로 a_{n}=\dfrac{2n+2}{3} 가 성립한다. (ⅱ) n=k\:(k\ge3) 일 때, a_{k}=\dfrac{2k+2}{3} 가 성립한다고 가정하자. n=k+1 일 때, A_{k+1}\\=A_{k} \cup \{(1 ,\: k+1),\:(2 ,\: k+1),\:\cdots,\: (k ,\: k+1)\} 이고 집합 A_{k} 의 원소의 개수는 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이므로 \begin{aligned}a_{k+1}&=\cfrac {\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\times \cfrac{2k+2}{3}+\fbox{\quad\text{(나)}\quad}}{{}_{k+1}\text{C}_{2}}\\& =\dfrac{2k+2}{3}=\dfrac{2(k+1)+2}{3}\end{aligned} 이다. 따라서 n=k+1 일 때도 a_{n}=\dfrac{2n+2}{3} 가 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 3 이상의 자연수 n 에 대하여 a_{n}=\dfrac{2n+2}{3} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(k) , g(x) 라 할 때, f(10)+g(9) 의 값은? ① 131 ② 133 ③ 135 ④ 137 ⑤ 139