(2020년 시행) 2021학년도 수능 (가형) 14번 풀이

그림과 같이 \overline{\text{AB}_{1}}=2 , \overline{\text{AD}_{1}}=4 인 직사각형 \text{AB}_{1} \text{C}_{1} \text{D}_{1} 이 있다. 선분 \text{AD}_{1} 을 3: 1 로 내분하는 점을 \text{E}_{1} 이라 하고, 직사각형 \text{AB}_{1} \text{C}_{1} \text{D}_{1} 의 내부에 점 \text{F}_{1} 을 \overline{\text{F}_{1} \text{E}_{1}}=\overline{\text{F}_{1} \text{C}_{1}} , \angle \text{E}_{1} \text{F}_{1} \text{C}_{1}=\dfrac{\pi}{2} 가 되도록 잡고 삼각형 \text{E}_{1} \text{F}_{1} \text{C}_{1} 을 그린다. 사각형 \text{E}_{1} \text{F}_{1} \text{C}_{1} \text{D}_{1} 을 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \text{AB}_{1} 위의 점 \text{B}_{2} , 선분 \text{E}_{1} \text{F}_{1} 위의 점 \text{C}_{2} , 선분 \text{AE}_{1} 위의 점 \text{D}_{2} 와 점 \text{A} 를 꼭짓점으로 하고 \overline{\text{AB}_{2}}: \overline{\text{AD}_{2}}=1: 2 인 직사각형 \text{AB}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{2} 를 그린다. 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 \text{AB}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{2} 에 삼각형 \text{E}_{2} \text{F}_{2} \text{C}_{2} 를 그리고 사각형 \text{E}_{2} \text{F}_{2} \text{C}_{2} \text{D}_{2} 를 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{441}{103} ② \dfrac{441}{109} ③ \dfrac{441}{115} ④ \dfrac{441}{121} ⑤ \dfrac{441}{127}