(2020년 시행) 2021학년도 수능 (가형) 16번 풀이

상수 k\:(k > 1) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 \left\{ a_{n}\right\} 이 있다. 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n} < a_{n+1} 이고 곡선 y = 2^{x} 위의 두 점 \text{P}_{n} \left( a_{n},\: 2^{a_{n}} \right) , \text{P}_{n+1} \left( a_{n+1},\: 2^{a_{n+1}} \right) 을 지나는 직선의 기울기는 k \times 2^{a_{n}} 이다. contenthub figure 점 \text{P}_{n} 을 지나고 x 축에 평행한 직선과 \text{P}_{n+1} 을 지나고 y 축에 평행한 직선이 만나는 점을 \text{Q}_{n} 이라 하고 삼각형 \text{P}_{n}\text{Q}_{n}\text{P}_{n+1} 의 넓이를 A_{n} 이라 하자. 다음은 a_{1} = 1 , \dfrac{A_{3}}{A_{1}} = 16 일 때, A_{n} 을 구하는 과정이다. 두 점 \text{P}_{n} , \text{P}_{n+1} 을 지나는 직선의 기울기가 k \times 2^{a_{n}} 이므로 2^{a_{n+1} - a_{n}} = k \left( a_{n+1} - a_{n} \right) + 1 이다. 즉, 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+1} - a_{n} 은 방정식 2^{x} = kx + 1 의 해이다. k > 1 이므로 방정식 2^{x} = kx + 1 은 오직 하나의 양의 실근 d 를 갖는다. 따라서 모든 자연수 n 에 대하여 a_{n+1} - a_{n} = d 이고, 수열 \left\{ a_{n} \right\} 은 공차가 d 인 등차수열이다. 점 \text{Q}_{n} 의 좌표가 \left( a_{n+1}, 2^{a_{n}} \right) 이므로 A_{n} = \dfrac{1}{2} \left( a_{n+1} - a_{n} \right) \left( 2^{a_{n+1}} - 2^{a_{n}}\right) 이다. \dfrac{A_{3}}{A_{1}} = 16 이므로 d 의 값은 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이고, 수열 \left\{ a_{n} \right\} 의 일반항은 a_{n} = \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 모든 자연수 n 에 대하여 A_{n} = \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가)에 알맞은 수를 p , (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) 이라 할 때, p + \dfrac{g(4)}{f(2)} 의 값은? ① 118 ② 121 ③ 124 ④ 127 ⑤ 130