Problem 30
2021년 고3 3월 모의고사 (미적분) 30번 풀이
자연수 n 에 대하여 삼차함수 f (x) = x (x - n) \left (x - 3 n ^{2}\right) 이 극대가 되는 x 를 a_{n} 이라 하자. x 에 대한 방정식 f (x) = f \left (a_{n}\right) 의 근 중에서 a_{n} 이 아닌 근을 b_{n
문제
자연수 n 에 대하여 삼차함수 f (x) = x (x - n) \left (x - 3 n ^{2}\right) 이 극대가 되는 x 를 a_{n} 이라 하자. x 에 대한 방정식 f (x) = f \left (a_{n}\right) 의 근 중에서 a_{n} 이 아닌 근을 b_{n} 이라 할 때, \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n}b_{n}}{n ^{3}}= \dfrac{q}{p} 이다. p + q 의 값을 구하시오. (단, p 와 q 는 서로소인 자연수이다.)
정답
$5$
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