2021년 고3 3월 모의고사 (공통) 10번 풀이

자연수 n 에 대하여 점 \mathrm{A}_{n}\left(n,\:n^{2}\right) 을 지나고 직선 y=n x 에 수직인 직선이 x 축과 만나는 점을 \mathrm{B}_{n} 이라 하자. contenthub figure 다음은 삼각형 \mathrm{A}_{n}\mathrm{OB}_{n} 의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \displaystyle \sum_{n=1}^{8} \dfrac{S_{n}}{n^{3}} 의 값을 구하는 과정이다. (단, \mathrm{O} 는 원점이다.) 점 \mathrm{A}_{n}\left(n,\: n^{2}\right) 을 지나고 직선 y=n x 에 수직인 직선의 방정식은 y=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} \times x+n^{2}+1 이므로 두 점 \mathrm{A}_{n} , \mathrm{B}_{n} 의 좌표를 이용하여 S_{n} 을 구하면 S_{n}=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 따라서 \displaystyle \sum_{n=1}^{8} \dfrac{S_{n}}{n^{3}}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 r 라 할 때, f(1)+g(2)+r 의 값은? ① 105 ② 110 ③ 115 ④ 120 ⑤ 125