2021년 고3 4월 모의고사 (미적분) 28번 풀이

그림과 같이 길이가 4 인 선분 \mathrm{ A}_{1}\mathrm{B}_{1} 을 지름으로 하는 원 O_{1} 이 있다. 원 O_{1} 의 외부에 \angle \mathrm{B}_{1}\mathrm{ A}_{1}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{\pi}{2} , \overline{\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}}:\overline{\mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1}}=4 : 3 이 되도록 점 \mathrm{C}_{1} 을 잡고 두 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1} , \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 을 그린다. 원 O_{1} 과 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 의 교점 중 \mathrm{B}_{1} 이 아닌 점을 \mathrm{D}_{1} 이라 하고, 점 \mathrm{D}_{1} 을 포함하지 않는 호 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1} 과 두 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1} , \mathrm{B}_{1}\mathrm{D}_{1} 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 호 \mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1} 과 두 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1} , \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 에 동시에 접하는 원 O_{2} 를 그리고 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1} 과 원 O_{2} 의 교점을 \mathrm{A}_{2} , 점 \mathrm{A}_{2} 를 지나고 직선 \mathrm{A}_{1}\mathrm{ B}_{1} 과 평행한 직선이 원 O_{2} 와 만나는 점 중 \mathrm{A}_{2} 가 아닌 점을 \mathrm{B}_{2} 라 하자. 그림 R_{1} 에서 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 \mathrm{C}_{2} , \mathrm{D}_{2} 를 잡고, 점 \mathrm{D}_{2} 를 포함하지 않는 호 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2} 와 두 선분 \mathrm{A}_{2}\mathrm{D}_{2} , \mathrm{B}_{2}\mathrm{D}_{2} 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 로 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{32}{15}\pi+\dfrac{256}{125} ② \dfrac{9}{4}\pi+\dfrac{54}{25} ③ \dfrac{32}{15}\pi+\dfrac{512}{125} ④ \dfrac{9}{4}\pi+\dfrac{108}{25} ⑤ \dfrac{8}{3}\pi+\dfrac{128}{25}