2021년 고3 4월 모의고사 (공통) 14번 풀이

4 이상의 자연수 n 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 n 이하의 네 자연수 a , b , c , d 가 있다. \circ\:a > b \circ 좌표평면 위의 두 점 \mathrm{A}(a ,\: b) , \mathrm{B}(c ,\: d) 와 원점 \mathrm{O} 에 대하여 삼각형 \mathrm{OAB} 는 \angle A=\dfrac{\pi}{2} 인 직각이등변삼각형이다. 다음은 a , b , c , d 의 모든 순서쌍 (a ,\: b,\: c ,\: d) 의 개수를 T_{n} 이라 할 때, \displaystyle\sum_{n=4}^{20}T_{n} 의 값을 구하는 과정이다. contenthub figure 점 \mathrm{A}(a ,\: b) 에 대하여 점 \mathrm{B}(c ,\: d) 가 \overline{\mathrm{OA}}\bot\overline{\mathrm{AB}} , \overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{AB}} 를 만족시키려면 c=a-b , d=a+b 이어야 한다. 이때, a > b 이고 d 가 n 이하의 자연수이므로 b < \dfrac{n}{2} 이다. \dfrac{n}{2} 미만의 자연수 k 에 대하여 b=k 일 때, a+b \le n 을 만족시키는 자연수 a 의 개수는 n-2k 이다. 2 이상의 자연수 m 에 대하여 (ⅰ) n=2m 인 경우 b 가 될 수 있는 자연수는 1 부터 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 까지이므로 T_{2m}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\fbox{\quad\text{(가)}\quad}}(2m-2k)=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} (ⅱ) n=2m+1 인 경우 T_{2m+1}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} (ⅰ), (ⅱ)에 의해 \displaystyle\sum_{n=4}^{20}T_{n}=614 contenthub figure 점 \mathrm{A}(a ,\: b) 에 대하여 점 \mathrm{B}(c ,\: d) 가 \overline{\mathrm{OA}}\bot\overline{\mathrm{AB}} , \overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{AB}} 를 만족시키려면 c=a-b , d=a+b 이어야 한다. 이때, a > b 이고 d 가 n 이하의 자연수이므로 b < \dfrac{n}{2} 이다. \dfrac{n}{2} 미만의 자연수 k 에 대하여 b=k 일 때, a+b \le n 을 만족시키는 자연수 a 의 개수는 n-2k 이다. 2 이상의 자연수 m 에 대하여 (ⅰ) n=2m 인 경우 b 가 될 수 있는 자연수는 1 부터 \fbox{\quad\text{(가)}\quad} 까지이므로 T_{2m}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\fbox{\quad\text{(가)}\quad}}(2m-2k)=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} (ⅱ) n=2m+1 인 경우 T_{2m+1}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} (ⅰ), (ⅱ)에 의해 \displaystyle\sum_{n=4}^{20}T_{n}=614 </box>위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(m), g(m) , h(m) 이라 할 때, f(5)+g(6)+h(7)) 의 값은? ① 71 ② 74 ③ 77 ④ 80 ⑤ 83