(2021년 시행) 2022학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (미적분) 26번 풀이

그림과 같이 중심이 \mathrm{O} _{ 1 } , 반지름의 길이가 1 이고 중심각의 크기가 \dfrac { 5 \pi } { 12 } 인 부채꼴 \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 2 } 가 있다. 호 \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 2 } 위에 점 \mathrm{ B}_{1} 을 \angle \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } = \dfrac { \pi } { 4 } 가 되도록 잡고, 부채꼴 \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } 에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 점 \mathrm{O} _{ 2 } 를 지나고 선분 \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{A} _{ 1 } 에 평행한 직선이 직선 \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } 과 만나는 점을 \mathrm{ A}_{2} 라 하자. 중심이 \mathrm{O} _{ 2 } 이고 중심각의 크기가 \dfrac { 5 \pi } { 12 } 인 부채꼴 \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{A} _{ 2 } \mathrm{O} _{ 3 } 을 부채꼴 \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } 과 겹치지 않도록 그린다. 호 \mathrm{A} _{ 2 } \mathrm{O} _{ 3 } 위에 점 \mathrm{ B}_{2} 를 \angle \mathrm{A} _{ 2 } \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{B} _{ 2 } = \dfrac { \pi } { 4 } 가 되도록 잡고, 부채꼴 \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{A} _{ 2 } \mathrm{B} _{ 2 } 에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{ n } 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim \limits _{ n \to \infty } \mathrm{S} _{ n } 의 값은? contenthub figure ① \dfrac { 3 \pi } { 16 } ② \dfrac { 7 \pi } { 32 } ③ \dfrac { \pi } { 4 } ④ \dfrac { 9 \pi } { 32 } ⑤ \dfrac { 5 \pi } { 16 }