2021년 고3 7월 모의고사 (미적분) 26번 풀이

그림과 같이 한 변의 길이가 4 인 정사각형 \mathrm{O}\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 의 대각선 \mathrm{OB}_{1} 을 3:1 로 내분하는 점을 \mathrm{D}_{1} 이라 하고, 네 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1} , \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} , \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} , \mathrm{D}_{1}\mathrm{A}_{1} 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 중심이 \mathrm{O} 이고 두 직선 \mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1} , \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 에 동시에 접하는 원과 선분 \mathrm{OB}_{1} 이 만나는 점을 \mathrm{B}_{2} 라 하자. 선분 \mathrm{OB}_{2} 를 대각선으로 하는 정사각형 \mathrm{O}\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2} 를 그리고 정사각형 \mathrm{O}\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2} 에 그림 R_{1} 을 얻는 것과 같은 방법으로 동일한 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infin} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{70}{11} ② \dfrac{75}{11} ③ \dfrac{80}{11} ④ \dfrac{80}{9} ⑤ \dfrac{85}{9}