2021년 고3 7월 모의고사 (공통) 13번 풀이

첫째항이 1 인 수열 \left\{a_{n}\right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 (n+1)S_{n+1}=\log _{2}(n+2)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}S_{k}\quad\cdots(\ast) 가 성립할 때, \displaystyle\sum_{k=1}^{n}ka_{k} 를 구하는 과정이다. 주어진 식 (\ast) 에 의하여 nS_{n}=\log _{2}(n+1)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}S_{k}\:(n \ge 2) \quad\cdots ㉠ 이다. (\ast) 에서 ㉠을 빼서 정리하면 \begin{aligned} &(n+1)S_{n+1}-nS_{n} \\& =\log _{2}(n+2) - \log _{2}(n+1)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}S_{k}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}S_{k}\:(n \ge 2)\end{aligned} 이므로 \left ( \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \right )\times a_{n+1}=\log _{2}\dfrac{n+2}{n+1}\:(n \ge 2) 이다. a_{1}=1=\log _{2}2 이고, 2S_{2}=\log _{2}3+S_{1}=\log _{2}3+a_{1} 이므로 모든 자연수 n 에 대하여 na_{n}=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n) , g(n) , h(n) 이라 할 때, f(8) - g(8)+h(8) 의 값은? ① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16