(2021년 시행) 2022학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (미적분) 27번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{AB}_{1}} = 1 , \overline{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}} = 2 인 직사각형 \mathrm{AB}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 이 있다. \angle \mathrm{AD}_{1}\mathrm{C}_{1} 을 삼등분하는 두 직선이 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 과 만나는 점 중 점 \mathrm{B}_{1} 에 가까운 점을 \mathrm{E}_{1} , 점 \mathrm{C}_{1} 에 가까운 점을 \mathrm{F}_{1} 이라 하자. \overline{\mathrm{E}_{1}\mathrm{F}_{1}} = \overline{\mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1}} , \angle \mathrm{E}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1} = \dfrac{\pi}{2} 이고 선분 \mathrm{AD}_{1} 과 선분 \mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1} 이 만나도록 점 \mathrm{G}_{1} 을 잡아 삼각형 \mathrm{E}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1} 을 그린다. 선분 \mathrm{E}_{1}\mathrm{D}_{1} 과 선분 \mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1} 이 만나는 점을 \mathrm{H}_{1} 이라 할 때, 두 삼각형 \mathrm{G}_{1}\mathrm{E}_{1}\mathrm{H}_{1} , \mathrm{H}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{D}_{1} 로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 선분 \mathrm{AB}_{1} 위의 점 \mathrm{B}_{1} , 선분 \mathrm{E}_{1}\mathrm{G}_{1} 위의 점 \mathrm{C}_{2} , 선분 \mathrm{AD}_{1} 위의 점 \mathrm{D}_{2} 와 점 \mathrm{A} 를 꼭짓점으로 하고 \overline{\mathrm{AB}_{2}} : \overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}} = 1 : 2 인 직사각형 \mathrm{AB}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 를 그린다. 직사각형 \mathrm{AB}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 에 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 동일한 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim \limits_{n \to \infin} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{2\sqrt{3}}{9} ② \dfrac{5\sqrt{3}}{18} ③ \dfrac{\sqrt{3}}{3} ④ \dfrac{7\sqrt{3}}{18} ⑤ \dfrac{4\sqrt{3}}{9}