(2021년 시행) 2022학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (기하) 30번 풀이

좌표평면에서 세 점 \mathrm{A}(-3 ,\: 1) , \mathrm{B}(0 ,\: 2) , \mathrm{C}(1 ,\: 0) 에 대하여 두 점 \mathrm{P} , \mathrm{Q} 가 \left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=1 , \left|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right|=2 , \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2} 를 만족시킬 때, \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}} 의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 \mathrm{P} , \mathrm{Q} 를 각각 \mathrm{P}_{0} , \mathrm{Q}_{0} 이라 하자. 선분 \mathrm{AP}_{0} 위의 점 \mathrm{X} 에 대하여 \overrightarrow{\mathrm{BX}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}_{0}} \ge 1 일 때, \left|\overrightarrow{\mathrm{Q}_{0}\mathrm{X}}\right|^{2} 의 최댓값은 \dfrac{q}{p} 이다. p+q 의 값을 구하시오. (단, \mathrm{O} 는 원점이고, p 와 q 는 서로소인 자연수이다.)