2021년 고3 10월 모의고사 (미적분) 26번 풀이

그림과 같이 길이가 2 인 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B} 를 지름으로 하는 반원 O_{1} 이 있다. 호 \mathrm{BA}_{1} 위에 점 \mathrm{C}_{1} 을 \angle \mathrm{BA}_{1}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{\pi}{6} 가 되도록 잡고, 선분 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B} 를 지름으로 하는 반원 O_{2} 가 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1} 과 접하도록 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B} 위에 점 \mathrm{A}_{2} 를 잡는다. 반원 O_{2} 와 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1} 의 접점을 \mathrm{D}_{1} 이라 할 때, 두 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2} , \mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1} 과 호 \mathrm{D}_{1}\mathrm{A}_{2} 로 둘러싸인 부분과 선분 \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 과 두 호 \mathrm{BC}_{1} , \mathrm{BD}_{1} 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 호 \mathrm{BA}_{2} 위에 점 \mathrm{C}_{2} 를 \angle \mathrm{BA}_{2}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{\pi}{6} 가 되도록 잡고, 선분 \mathrm{A}_{3}\mathrm{B} 를 지름으로 하는 반원 O_{3} 이 선분 \mathrm{A}_{2}\mathrm{C}_{2} 와 접하도록 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B} 위에 점 \mathrm{A}_{3} 을 잡는다. 반원 O_{3} 과 선분 \mathrm{A}_{2}\mathrm{C}_{2} 의 접점을 \mathrm{D}_{2} 라 할 때, 두 선분 \mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{3} , \mathrm{A}_{2}\mathrm{D}_{2} 와 호 \mathrm{D}_{2}\mathrm{A}_{3} 으로 둘러싸인 부분과 선분 \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 와 두 호 \mathrm{BC}_{2} , \mathrm{BD}_{2} 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R _{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{4\sqrt{3}-\pi}{10} ② \dfrac{9\sqrt{3}-2\pi}{20} ③ \dfrac{8\sqrt{3}-\pi}{20} ④ \dfrac{5\sqrt{3}-\pi}{10} ⑤ \dfrac{9\sqrt{3}-\pi}{20}