2021년 고3 10월 모의고사 (공통) 14번 풀이

모든 자연수 n 에 대하여 직선 l : x - 2y + \sqrt { 5 } = 0 위의 점 \mathrm{P} _{ n } 과 x 축 위의 점 \mathrm{Q} _{ n } 이 다음 조건을 만족시킨다. \bullet 직선 \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } 과 직선 l 이 서로 수직이다. \bullet\: \overline { \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } } = \overline{ \mathrm{P} _{ n } \mathrm{P} _{ n + 1 } } 이고 점 \mathrm{P} _{ n + 1 } 의 x 좌표는 점 \mathrm{P} _{ n } 의 x 좌표보다 크다. 다음은 점 \mathrm{P}_{1} 이 원 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 과 직선 l 의 접점일 때, 2 이상의 모든 자연수 n 에 대하여 삼각형 \mathrm{OQ} _{ n } \mathrm{P} _{ n } 의 넓이를 구하는 과정이다. (단, \mathrm{O} 는 원점이다.) contenthub figure 자연수 n 에 대하여 점 \mathrm{Q} _{ n } 을 지나고 직선 l 과 평행한 직선이 선분 \mathrm{P} _{ n + 1 } \mathrm{Q} _{ n + 1 } 과 만나는 점을 \mathrm{R} _{ n + 1 } 이라 하면 사각형 \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } \mathrm{R} _{ n + 1 } \mathrm{P} _{ n + 1 } 은 정사각형이다. 직선 l 의 기울기가 \dfrac{1}{2} 이므로 \overline { \mathrm{R} _{ n + 1 } \mathrm{Q} _{ n + 1 } } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \times \overline { \mathrm{P} _{ n } \mathrm{P} _{ n + 1 } } 이고 \overline{ \mathrm{P} _{ n + 1 } \mathrm{Q} _{ n + 1 } } = \left( 1 + \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \right) \times \overline{ \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } } 이다. 이때, \overline { \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{Q} _{ 1 } } = 1 이므로 \overline{ \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } } = \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 그러므로 2 이상의 자연수 n 에 대하여 \overline { \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{P} _{ n } } = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n - 1 } \overline{ \mathrm{P} _{ k } \mathrm{P} _{ k + 1 } } =\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 2 이상의 자연수 n 에 대하여 삼각형 \mathrm{OQ} _{ n } \mathrm{P} _{ n } 의 넓이는 \dfrac { 1 } { 2 } \times \overline { \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } } \times \overline{ \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{P} _{ n } } = \dfrac { 1 } { 2 } \times\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\times \left(\fbox{\quad\text{(다)}\quad}\right) 이다. contenthub figure 자연수 n 에 대하여 점 \mathrm{Q} _{ n } 을 지나고 직선 l 과 평행한 직선이 선분 \mathrm{P} _{ n + 1 } \mathrm{Q} _{ n + 1 } 과 만나는 점을 \mathrm{R} _{ n + 1 } 이라 하면 사각형 \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } \mathrm{R} _{ n + 1 } \mathrm{P} _{ n + 1 } 은 정사각형이다. 직선 l 의 기울기가 \dfrac{1}{2} 이므로 \overline { \mathrm{R} _{ n + 1 } \mathrm{Q} _{ n + 1 } } = \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \times \overline { \mathrm{P} _{ n } \mathrm{P} _{ n + 1 } } 이고 \overline{ \mathrm{P} _{ n + 1 } \mathrm{Q} _{ n + 1 } } = \left( 1 + \fbox{\quad\text{(가)}\quad} \right) \times \overline{ \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } } 이다. 이때, \overline { \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{Q} _{ 1 } } = 1 이므로 \overline{ \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } } = \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 그러므로 2 이상의 자연수 n 에 대하여 \overline { \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{P} _{ n } } = \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n - 1 } \overline{ \mathrm{P} _{ k } \mathrm{P} _{ k + 1 } } =\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 따라서 2 이상의 자연수 n 에 대하여 삼각형 \mathrm{OQ} _{ n } \mathrm{P} _{ n } 의 넓이는 \dfrac { 1 } { 2 } \times \overline { \mathrm{P} _{ n } \mathrm{Q} _{ n } } \times \overline{ \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{P} _{ n } } = \dfrac { 1 } { 2 } \times\fbox{\quad\text{(나)}\quad}\times \left(\fbox{\quad\text{(다)}\quad}\right) 이다. </box>위의 (가)에 알맞은 수를 p , (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 f ( n ) , g ( n ) 이라 할 때, f ( 6p ) + g ( 8p ) 의 값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7