(2021년 시행) 2022학년도 수능 (미적분) 29번 풀이

그림과 같이 길이가 2 인 선분 \mathrm{AB} 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \mathrm{AB} 위에 두 점 \mathrm{P} , \mathrm{Q} 를 \angle \mathrm{PAB}=\theta , \angle \mathrm{QBA}=2\theta 가 되도록 잡고, 두 선분 \mathrm{AP} , \mathrm{BQ} 의 교점을 \mathrm{R} 라 하자. 선분 \mathrm{AB} 위의 점 \mathrm{S} , 선분 \mathrm{BR} 위의 점 \mathrm{T} , 선분 \mathrm{AR} 위의 점 \mathrm{U} 를 선분 \mathrm{UT} 가 선분 \mathrm{AB} 에 평행하고 삼각형 \mathrm{STU} 가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 \mathrm{AR} , \mathrm{QR} 와 호 \mathrm{AQ} 로 둘러싸인 부분의 넓이를 f(\theta ) , 삼각형 \mathrm{STU} 의 넓이를 g(\theta ) 라 할 때, \lim\limits _{\theta \to 0+}\dfrac{g(\theta )}{\theta \times f(\theta )}=\dfrac{q}{p}\sqrt{3} 이다. p+q 의 값을 구하시오. \bigg( 단, 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} 이고, p 와 q 는 서로소인 자연수이다. \bigg) contenthub figure