(2021년 시행) 2022학년도 수능 (공통) 15번 풀이

두 점 \mathrm{O} _{ 1 } , \mathrm{O} _{ 2 } 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 \overline { \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 2 } } 인 두 원 C _{ 1 } , C _{ 2 } 가 있다. 그림과 같이 원 C _{ 1 } 위의 서로 다른 세 점 \mathrm{A} , \mathrm{B} , \mathrm{C} 와 원 C _{ 2 } 위의 점 \mathrm{D} 가 주어져 있고, 세 점 \mathrm{A} , \mathrm{O} _{ 1 } , \mathrm{O} _{ 2 } 와 세 점 \mathrm{C} , \mathrm{O} _{ 2 } , \mathrm{D} 가 각각 한 직선 위에 있다. 이때 \angle \mathrm{BO} _{ 1 } \mathrm{A}= \theta _{ 1 } , \angle \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{C} = \theta _{ 2 } , \angle \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{D} = \theta _{ 3 } 이라 하자. contenthub figure 다음은 \overline { \mathrm{AB} } : \overline { \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{D} } = 1 : 2 \sqrt { 2 } 이고 \theta _{ 3 } = \theta _{ 1 } + \theta _{ 2 } 일 때, 선분 \mathrm{AB} 와 선분 \mathrm{CD} 의 길이의 비를 구하는 과정이다. \angle \mathrm{CO} _{ 2 } \mathrm{O} _{ 1 } + \angle \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{D} = \pi 이므로 \theta _{ 3 } = \dfrac { \pi } { 2 } + \dfrac { \theta _{ 2 } } { 2 } 이고 \theta _{ 3 } = \theta _{ 1 } + \theta _{ 2 } 에서 2\theta _{ 1 } + \theta _{ 2 } = \pi 이므로 \angle \mathrm{CO} _{ 1 } \mathrm{B} = \theta _{ 1 } 이다. 이때 \angle \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{B} = \theta _{ 1 } + \theta _{ 2 } = \theta _{ 3 } 이므로 삼각형 \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{B} 와 삼각형 \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{D} 는 합동이다. \overline { \mathrm{AB} } = k 라 할 때 \overline { \mathrm{BO} _{ 2 } } = \overline { \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{D} } = 2 \sqrt { 2 } k 이므로 \overline { \mathrm{AO} _{ 2 } } =\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이고, \angle \mathrm{BO} _{ 2 } \mathrm{A} = \dfrac { \theta _{ 1 } } { 2 } 이므로 \cos \dfrac { \theta _{ 1 } } { 2 } = \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 삼각형 \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{BC} 에서 \overline { \mathrm{BC} } = k , \overline { \mathrm{BO} _{ 2 } } = 2 \sqrt { 2 } k , \angle \mathrm{CO} _{ 2 } \mathrm{B} = \dfrac { \theta _{ 1 } } { 2 } 이므로 코사인법칙에 의하여 \overline { \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{C} } = \fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. \overline { \mathrm{CD} } = \overline { \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{D} } + \overline { \mathrm{O} _{ 2 } \mathrm{C} } = \overline { \mathrm{O} _{ 1 } \mathrm{O} _{ 2 } } + \overline { \mathrm{O} _{ 2 }\mathrm{C} } 이므로 \overline { \mathrm{AB} } : \overline { \mathrm{CD} } = k :\left ( \dfrac {\fbox{\quad\text{(가)}\quad} } { 2 } + \fbox{\quad\text{(다)}\quad}\right) 이다. 위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 f ( k ) , g ( k ) 라 하고, (나)에 알맞은 수를 p 라 할 때, f ( p ) \times g ( p ) 의 값은? ① \dfrac { 169 } { 27 } ② \dfrac { 56 } { 9 } ③ \dfrac { 167 } { 27 } ④ \dfrac { 166 } { 27 } ⑤ \dfrac { 55 } { 9 }