(2021년 시행) 2022학년도 수능 (기하) 30번 풀이

좌표공간에 중심이 \mathrm{C}\left(2 ,\: \sqrt{5},\: 5\right) 이고 점 \mathrm{P}(0 ,\: 0 ,\: 1) 을 지나는 구 S :(x-2)^{2}+\left(y-\sqrt{5}\right)^{2}+(z-5)^{2}=25 가 있다. 구 S 가 평면 \mathrm{OPC} 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 \mathrm{Q} , 구 S 위를 움직이는 점 \mathrm{R} 에 대하여 두 점 \mathrm{Q} , \mathrm{R} 의 xy 평면 위로의 정사영을 각각 \mathrm{Q}_{1} , \mathrm{R}_{1} 이라 하자. 삼각형 \mathrm{OQ}_{1}\mathrm{R}_{1} 의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 \mathrm{Q} , \mathrm{R} 에 대하여 삼각형 \mathrm{OQ}_{1}\mathrm{R}_{1} 의 평면 \mathrm{PQR} 위로의 정사영의 넓이는 \dfrac{q}{p}\sqrt{6} 이다. p+q 의 값을 구하시오. (단, \mathrm{O} 는 원점이고 세 점 \mathrm{O} , \mathrm{Q}_{1} , \mathrm{R}_{1} 은 한 직선 위에 있지 않으며, p 와 q 는 서로소인 자연수이다.) contenthub figure