(2021년 시행) 2022학년도 수능 (확률과 통계) 30번 풀이

흰 공과 검은 공이 각각 10 개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 5 이상이면 바구니에 있는 흰 공 2 개를 주머니에 넣고, 나온 눈의 수가 4 이하이면 바구니에 있는 검은 공 1 개를 주머니에 넣는다. 위의 시행을 5 번 반복할 때, n\:(1 \le n \le 5) 번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 a_{n} , b_{n} 이라 하자. a_{5}+b_{5} \ge 7 일 때, a_{k}=b_{k} 인 자연수 k\:(1 \le k \le 5) 가 존재할 확률은 \dfrac{q}{p} 이다. p+q 의 값을 구하시오. (단, p 와 q 는 서로소인 자연수이다.)