2022년 고3 3월 모의고사 (미적분) 30번 풀이

그림과 같이 자연수 n 에 대하여 곡선 T_{n} : y=\dfrac{\sqrt{3}}{n+1}x^2\:(x \ge 0) 위에 있고 원점 \mathrm{O} 와의 거리가 2n+2 인 점을 \mathrm{P}_{n} 이라 하고, 점 \mathrm{P}_{n} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 \mathrm{H}_{n} 이라 하자. 중심이 \mathrm{P}_{n} 이고 점 \mathrm{H}_{n} 을 지나는 원을 C_{n} 이라 할 때, 곡선 T_{n} 과 원 C_{n} 의 교점 중 원점에 가까운 점을 \mathrm{Q}_{n} , 원점에서 원 C_{n} 에 그은 두 접선의 접점 중 \mathrm{H}_{n} 이 아닌 점을 \mathrm{R}_{n} 이라 하자. 점 \mathrm{R}_{n} 을 포함하지 않는 호 \mathrm{Q}_{n}\mathrm{H}_{n} 과 선분 \mathrm{P}_{n}\mathrm{H}_{n} , 곡선 T_{n} 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 f(n) , 점 \mathrm{H}_{n} 을 포함하지 않는 호 \mathrm{R}_{n}\mathrm{Q}_{n} 과 선분 \mathrm{OR}_{n} , 곡선 T_{n} 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 g(n) 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{f(n)-g(n)}{n^{2}}}=\dfrac{\pi}{2}+k 이다. 60k^{2} 의 값을 구하시오. (단, k 는 상수이다.) contenthub figure