2022년 고3 4월 모의고사 (미적분) 28번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}}=2 , \overline{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=2\sqrt{3} 인 직사각형 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 이 있다. 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1} 을 1 : 2 로 내분하는 점을 \mathrm{E}_{1} 이라 하고 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 을 지름으로 하는 반원의 호 \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 이 두 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{E}_{1} , \mathrm{B}_{1}\mathrm{D}_{1} 과 만나는 점 중 점 \mathrm{B}_{1} 이 아닌 점을 각각 \mathrm{F}_{1} , \mathrm{G}_{1} 이라 하자. 세 선분 \mathrm{F}_{1}\mathrm{E}_{1} , \mathrm{E}_{1}\mathrm{D}_{1} , \mathrm{D}_{1}\mathrm{G}_{1} 과 호 \mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1} 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{G}_{1} 위의 점 \mathrm{A}_{2} , 호 \mathrm{G}_{1}\mathrm{C}_{1} 위의 점 \mathrm{D}_{2} 와 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 위의 두 점 \mathrm{B}_{2} , \mathrm{C}_{2} 를 꼭짓점으로 하고 \overline{\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}}:\overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}}=1 :\sqrt{3} 인 직사각형 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 를 그린다. 직사각형 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 에 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{169}{864}\left(8\sqrt{3}-3\pi\right) ② \dfrac{169}{798}\left(8\sqrt{3}-3\pi\right) ③ \dfrac{169}{720}\left(8\sqrt{3}-3\pi\right) ④ \dfrac{169}{864}\left(16\sqrt{3}-3\pi\right) ⑤ \dfrac{169}{798}\left(16\sqrt{3}-3\pi\right)