2022년 고3 4월 모의고사 (공통) 15번 풀이

그림과 같이 반지름의 길이가 R\:\left(5 < R < 5\sqrt{5}\right) 인 원 에 내접하는 사각형 \mathrm{ABCD} 가 다음 조건을 만족시킨다. \circ \:\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}} 이고 \overline{\mathrm{AC}}=10 이다. \circ 사각형 \mathrm{ABCD} 의 넓이는 40 이다. contenthub figure 다음은 선분 \mathrm{BD} 의 길이와 R 의 비를 구하는 과정이다. \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}}=k 라 할 때 두 삼각형 \mathrm{ABC} , \mathrm{ACD} 에서 각각 코사인법칙에 의하여 \cos (\angle \mathrm{ACB})=\dfrac{1}{20}\left(\overline{\mathrm{BC}}+\dfrac{\fbox{\quad\text{(가)}\quad}}{\overline{\mathrm{BC}}}\right) , \cos (\angle \mathrm{DCA})=\dfrac{1}{20}\left(\overline{\mathrm{CD}}+\dfrac{\fbox{\quad\text{(가)}\quad}}{\overline{\mathrm{CD}}}\right) 이다. 이때 두 호 \mathrm{AB} , \mathrm{AD} 에 대한 원주각의 크기가 같으므로 \cos (\angle \mathrm{ACB})=\cos (\angle \mathrm{DCA}) 이다. 사각형 \mathrm{ABCD} 의 넓이는 두 삼각형 \mathrm{ABD} , \mathrm{BCD} 의 넓이의 합과 같으므로 \dfrac{1}{2}k^{2}\sin (\angle \mathrm{BAD})+\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CD}}\times \sin (\pi-\angle \mathrm{BAD})=40 에서 \sin (\angle \mathrm{BAD})=\fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 따라서 삼각형 \mathrm{ABD} 에서 사인법칙에 의하여 \overline{\mathrm{BD}}: R=\fbox{\quad\text{(다)}\quad}: 1 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 f(k) 라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q 라 할 때, \dfrac{f(10p)}{q} 의 값은? ① \dfrac{25}{2} ② 15 ③ \dfrac{35}{2} ④ 20 ⑤ \dfrac{45}{2}