(2022년 시행) 2023학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (미적분) 26번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}}=2 , \overline{\mathrm{B}_{1}\mathrm{A}_{2}}=3 이고 \angle \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{A}_{2}=\dfrac{\pi}{3} 인 삼각형 \mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{1} 과 이 삼각형의 외접원 O_{1} 이 있다. 점 \mathrm{A}_{2} 를 지나고 직선 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1} 에 평행한 직선이 원 O_{1} 과 만나는 점 중 \mathrm{A}_{2} 가 아닌 점을 \mathrm{B}_{2} 라 하자. 두 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{2} , \mathrm{B}_{1}\mathrm{A}_{2} 가 만나는 점을 \mathrm{C}_{1} 이라 할 때, 두 삼각형 \mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}\mathrm{C}_{1} , \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{B}_{2} 로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 점 \mathrm{B}_{2} 를 지나고 직선 \mathrm{B}_{1}\mathrm{A}_{2} 에 평행한 직선이 직선 \mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2} 와 만나는 점을 \mathrm{A}_{3} 이라 할 때, 삼각형 \mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{3}\mathrm{B}_{2} 의 외접원을 O_{2} 라 하자. 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 \mathrm{B}_{3} , \mathrm{C}_{2} 를 잡아 원 O_{2} 에 동일한 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{11\sqrt{3}}{9} ② \dfrac{4\sqrt{3}}{3} ③ \dfrac{13\sqrt{3}}{9} ④ \dfrac{14\sqrt{3}}{9} ⑤ \dfrac{5\sqrt{3}}{3}