(2022년 시행) 2023학년도 고3 6월 평가원 모의고사 (공통) 13번 풀이

두 곡선 y=16^{x} , y=2^{x} 과 한 점 \mathrm{A}\left(64 ,\: 2^{64}\right) 이 있다. 점 \mathrm{A} 를 지나며 x 축과 평행한 직선이 곡선 y=16^{x} 과 만나는 점을 \mathrm{P}_{1} 이라 하고, 점 \mathrm{P}_{1} 을 지나며 y 축과 평행한 직선이 곡선 y=2^{x} 과 만나는 점을 \mathrm{Q}_{1} 이라 하자. 점 \mathrm{Q}_{1} 을 지나며 x 축과 평행한 직선이 곡선 y=16^{x} 과 만나는 점을 \mathrm{P}_{2} 라 하고, 점 \mathrm{P}_{2} 를 지나며 y 축과 평행한 직선이 곡선 y=2^{x} 과 만나는 점을 \mathrm{Q}_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 두 점을 각각 \mathrm{P}_{n} , \mathrm{Q}_{n} 이라 하고 점 \mathrm{Q}_{n} 의 x 좌표를 x_{n} 이라 할 때, x_{n} < \dfrac{1}{k} 을 만족시키는 n 의 최솟값이 6 이 되도록 하는 자연수 k 의 개수는? contenthub figure ① 48 ② 51 ③ 54 ④ 57 ⑤ 60