2022년 고3 7월 모의고사 (미적분) 27번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}} = 1 , \overline{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}} = 2 인 직사각형 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 이 있다. 선분 \mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1} 의 중점 \mathrm{E}_{1} 에 대하여 두 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{D}_{1} , \mathrm{C}_{1}\mathrm{E}_{1} 에 만나는 점을 \mathrm{F}_{1} 이라 하자. \overline{\mathrm{G}_{1}\mathrm{E}_{1}} = \overline{\mathrm{G}_{1}\mathrm{F}_{1}} 이 되도록 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{D}_{1} 위에 점 \mathrm{G}_{1} 을 잡아 삼각형 \mathrm{G}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{E}_{1} 을 그린다. 두 삼각형 \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}\mathrm{F}_{1} , \mathrm{G}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{E}_{1} 로 만들어진 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{F}_{1} 위의 점 \mathrm{A}_{2} , 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 위의 두 점 \mathrm{B}_{2} , \mathrm{C}_{2} 선분 \mathrm{C}_{1}\mathrm{F}_{1} 위의 점 \mathrm{D}_{2} 를 꼭짓점으로 하고 \overline{\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}} : \overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}} = 1 : 2 인 직사각형 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 를 그린다. 직사각형 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 에 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infin}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{23}{42} ② \dfrac{25}{42} ③ \dfrac{9}{14} ④ \dfrac{29}{42} ⑤ \dfrac{31}{42}