2022년 고3 7월 모의고사 (공통) 12번 풀이

첫째항이 2 인 수열 \left\{ a _{ n } \right\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_{n} 이라 하자. 다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \displaystyle\sum _{ k = 1 } ^ { n } \dfrac { 3S _{ k } } { k + 2 } = S _{ n } 이 성립할 때, a _{ 10 } 의 값을 구하는 과정이다. n \ge 2 인 모든 자연수 n 에 대하여 \begin{aligned}a _{ n } &= S _{ n } - S _{ n - 1 } \\& = \sum _{ k = 1 } ^ { n } \dfrac { 3S _{ k } } { k + 2 } - \sum _{ k = 1 } ^ { n - 1 } \dfrac { 3S _{ k } } { k + 2 } = \dfrac { 3S _{ n } } { n + 2 } \end{aligned} 이므로 3S _{ n } = ( n + 2 ) \times a _{ n }\: ( n \ge 2 ) 이다. S _{ 1 } = a _{ 1 } 에서 3S _{ 1 } = 3a _{ 1 } 이므로 3S _{ n } = ( n + 2 ) \times a _{ n } \: ( n \ge 1 ) 이다. \begin{aligned}3a _{ n } &= 3 \left( S _{ n } - S _{ n - 1 } \right) \\&= ( n + 2 ) \times a _{ n } - \left( \fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right) \times a _{ n - 1 }\: ( n \ge 2 ) \end{aligned} \dfrac { a _{ n } } { a _{ n - 1 } } = \fbox{\quad\text{(나)}\quad}\: ( n \ge 2 ) 따라서 \begin{aligned}a _{ 10 } &= a _{ 1 } \times \dfrac { a _{ 2 } } { a _{ 1 } } \times \dfrac { a _{ 3 } } { a _{ 2 } } \times \dfrac { a _{ 4 } } { a _{ 3 } } \times \cdots \times \dfrac { a _{ 9 } } { a _{ 8 } } \times \dfrac { a _{ 10 } } { a _{ 9 } } \\&=\fbox{\quad\text{(다)}\quad}\end{aligned} 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f ( n ) , g ( n ) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 p 라 할 때, \dfrac { f ( p ) } { g ( p ) } 의 값은? ① 109 ② 112 ③ 115 ④ 118 ⑤ 121