2022년 고3 7월 모의고사 16번 풀이

좌표평면에 네 점 {\text{A}(0 , 0)} , \text{B}(1 , 0) , \text{C}(1 , 1) , \text{D}(0 , 1) 이 있다. 자연수 n 에 대하여 집합 X_n 은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 (a , b) 를 원소로 하는 집합이다. (가) 점 (a , b) 는 정사각형 \text{ABCD} 의 내부에 있다. (나) 정사각형 \text{ABCD} 의 변 위를 움직이는 점 \text{P} 와 점 (a , b) 사이의 거리의 최솟값은 \dfrac{1}{2^n} 이다. (다) a = \dfrac{1}{2^k} 이고 b = \dfrac{1}{2^m} 인 자연수 k , m 이 존재한다. 집합 X_n 의 원소의 개수를 a_n 이라 할 때, \sum_{n = 1}^{10} a_n 의 값은? ① 100 ② 120 ③ 140 ④ 160 ⑤ 180