(2022년 시행) 2023학년도 고3 9월 평가원 모의고사 (미적분) 27번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}}=4 , \overline{\mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1}}=1 인 직사각형 \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 에서 두 대각선의 교점을 \mathrm{E}_{1} 이라 하자. \overline{\mathrm{A}_{2}\mathrm{D}_{1}}=\overline{\mathrm{D}_{1}\mathrm{E}_{1}} , \angle \mathrm{A}_{2}\mathrm{D}_{1}\mathrm{E}_{1}=\dfrac{\pi}{2} 이고 선분 \mathrm{D}_{1}\mathrm{C}_{1} 과 선분 \mathrm{A}_{2}\mathrm{E}_{1} 이 만나도록 점 \mathrm{A}_{2} 를 잡고, \overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{1}}=\overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{E}_{1}} , \angle \mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{1}\mathrm{E}_{1}=\dfrac{\pi}{2} 이고 선분 \mathrm{D}_{1}\mathrm{C}_{1} 과 선분 \mathrm{B}_{2}\mathrm{E}_{1} 이 만나도록 점 \mathrm{B}_{2} 를 잡는다. 두 삼각형 \mathrm{A}_{2}\mathrm{D}_{1}\mathrm{E}_{1} , \mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{1}\mathrm{E}_{1} 을 그린 후 다음과 같이 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 \overline{\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}}:\overline{\mathrm{A}_{2}\mathrm{D}_{2}}=4 : 1 이고 선분 \mathrm{D}_{2}\mathrm{C}_{2} 가 두 선분 \mathrm{A}_{2}\mathrm{E}_{1} , \mathrm{B}_{2}\mathrm{E}_{1} 과 만나지 않도록 직사각형 \mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 를 그린다. 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 세 점 \mathrm{E}_{2} , \mathrm{A}_{3} , \mathrm{B}_{3} 을 잡고 두 삼각형 \mathrm{A}_{3}\mathrm{D}_{2}\mathrm{E}_{2} , \mathrm{B}_{3}\mathrm{C}_{2}\mathrm{E}_{2} 를 그린 후 다음과 같이 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{n\to \infty}S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{68}{5} ② \dfrac{34}{3} ③ \dfrac{68}{7} ④ \dfrac{17}{2} ⑤ \dfrac{68}{9}