2022년 고3 10월 모의고사 (미적분) 27번 풀이

그림과 같이 \overline{ \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } } = 1 , \overline{ \mathrm{B} _{ 1 } \mathrm{C} _{ 1 } } = 2 \sqrt { 6 } 인 직사각형 \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } \mathrm{C} _{ 1 } \mathrm{D} _{ 1 } 이 있다. 중심이 \mathrm{B}_{1} 이고 반지름의 길이가 1 인 원이 선분 \mathrm{B} _{ 1 } \mathrm{C} _{ 1 } 과 만나는 점을 \mathrm{E}_{1} 이라 하고, 중심이 \mathrm{D}_{1} 이고 반지름의 길이가 1 인 원이 선분 \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{D} _{ 1 } 과 만나는 점을 \mathrm{F}_{1} 이라 하자. 선분 \mathrm{B} _{ 1 } \mathrm{D} _{ 1 } 이 호 \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{E} _{ 1 } , 호 \mathrm{C} _{ 1 } \mathrm{F} _{ 1 } 과 만나는 점을 각각 \mathrm{B}_{2} , \mathrm{D}_{2} 라 하고, 두 선분 \mathrm{B} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 2 } , \mathrm{D} _{ 1 } \mathrm{D} _{ 2 } 의 중점을 각각 \mathrm{G} _{ 1 } , \mathrm{H}_{1} 이라 하자. 두 선분 \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{G} _{ 1 } , \mathrm{G} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 2 } 와 호 \mathrm{B} _{ 2 } \mathrm{A} _{ 1 } 로 둘러싸인 부분의 도형과 두 선분 \mathrm{D} _{ 2 } \mathrm{H} _{ 1 } , \mathrm{H} _{ 1 } \mathrm{F} _{ 1 } 과 호 \mathrm{F} _{ 1 } \mathrm{D} _{ 2 } 로 둘러싸인 부분의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \mathrm{B} _{ 2 } \mathrm{D} _{ 2 } 가 대각선이고 모든 변이 선분 \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } 또는 선분 \mathrm{B} _{ 1 } \mathrm{C} _{ 1 } 에 평행한 직사각형 \mathrm{A} _{ 2 } \mathrm{B} _{ 2 } \mathrm{C} _{ 2 } \mathrm{D} _{ 2 } 를 그린다. 직사각형 \mathrm{A} _{ 2 } \mathrm{B} _{ 2 } \mathrm{C} _{ 2 } \mathrm{D} _{ 2 } 에 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 동일한 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits _{ n \to \infty } S _{ n } 의 값은? contenthub figure ① \dfrac { 25 \pi - 12 \sqrt { 6 } - 5 } { 64 } ② \dfrac { 25 \pi - 12 \sqrt { 6 } - 4 } { 64 } ③ \dfrac { 25 \pi - 10 \sqrt { 6 } - 6 } { 64 } ④ \dfrac { 25 \pi - 10 \sqrt { 6 } - 5 } { 64 } ⑤ \dfrac { 25 \pi - 10 \sqrt { 6 } - 4 } { 64 }