2022년 고3 10월 모의고사 (공통) 13번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{AB}}=2 , \overline{\mathrm{BC}}=3\sqrt{3} , \overline{\mathrm{CA}}=\sqrt{13} 인 삼각형 \mathrm{ABC} 가 있다. 선분 \mathrm{BC} 위에 점 \mathrm{B} 가 아닌 점 \mathrm{D} 를 \overline{\mathrm{AD}}=2 가 되도록 잡고, 선분 \mathrm{AC} 위에 양 끝점 \mathrm{A} , \mathrm{C} 가 아닌 점 \mathrm{E} 를 사각형 \mathrm{ABDE} 가 원에 내접하도록 잡는다. contenthub figure 다음은 선분 \mathrm{DE} 의 길이를 구하는 과정이다. 삼각형 \mathrm{ABC} 에서 코사인법칙에 의하여 \cos (\angle \mathrm{ABC})=\fbox{\quad\text{(가)}\quad} 이다. 삼각형 \mathrm{ABD} 에서 \sin (\angle \mathrm{ABD})=\sqrt{1-\left(\fbox{\quad\text{(가)}\quad}\right)^{2}} 이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 \mathrm{ABD} 의 외접원의 반지름의 길이는 \fbox{\quad\text{(나)}\quad} 이다. 삼각형 \mathrm{ADC} 에서 사인법칙에 의하여 \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin (\angle \mathrm{CAD})}=\dfrac{\overline{\mathrm{AD}}}{\sin (\angle \mathrm{ACD})} 이므로 \sin (\angle \mathrm{CAD})=\dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\overline{\mathrm{AD}}}\times\sin (\angle \mathrm{ACD}) 이다. 삼각형 \mathrm{ADE} 에서 사인법칙에 의하여 \overline{\mathrm{DE}}=\fbox{\quad\text{(다)}\quad} 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q , r 라 할 때, p\times q\times r 의 값은? ① \dfrac{6\sqrt{13}}{13} ② \dfrac{7\sqrt{13}}{13} ③ \dfrac{8\sqrt{13}}{13} ④ \dfrac{9\sqrt{13}}{13} ⑤ \dfrac{10\sqrt{13}}{13}