(2022년 시행) 2023학년도 수능 (미적분) 27번 풀이

그림과 같이 중심이 \mathrm{O} , 반지름의 길이가 1 이고 중심각의 크기가 \dfrac { \pi } { 2 } 인 부채꼴 \mathrm{OA} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } 이 있다. 호 \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } 위에 점 \mathrm{P} _{ 1 } , 선분 \mathrm{OA} _{ 1 } 위에 점 \mathrm{C} _{ 1 } , 선분 \mathrm{OB}_{1} 위에 점 \mathrm{D} _{ 1 } 을 사각형 \mathrm{OC} _{ 1 } \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{D} _{ 1 } 이 \overline { \mathrm{OC} _{ 1 } } : \overline { \mathrm{OD} _{ 1 } } = 3 : 4 인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 \mathrm{OA} _{ 1 } \mathrm{B} _{ 1 } 의 내부에 점 \mathrm{Q} _{ 1 } 을 \overline { \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{Q} _{ 1 } } = \overline { \mathrm{A} _{ 1 } \mathrm{Q} _{ 1 } } , \angle \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{Q} _{ 1 } \mathrm{A} _{ 1 } = \dfrac { \pi } { 2 } 가 되도록 잡고, 이등변삼각형 \mathrm{P} _{ 1 } \mathrm{Q} _{ 1 } \mathrm{A} _{ 1 } 에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R _{ 1 } 에서 선분 \mathrm{OA} _{ 1 } 위의 점 \mathrm{A} _{ 2 } 와 선분 \mathrm{OB}_{1} 위의 점 \mathrm{B} _{ 2 } 를 \overline { \mathrm{OQ} _{ 1 } } = \overline { \mathrm{OA} _{ 2 } } = \overline { \mathrm{OB} _{ 2 } } 가 되도록 잡고, 중심이 \mathrm{O} , 반지름의 길이가 \overline { \mathrm{OQ} _{ 1 } } , 중심각의 크기가 \dfrac { \pi } { 2 } 인 부채꼴 \mathrm{OA} _{ 2 } \mathrm{B} _{ 2 } 를 그린다. 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 \mathrm{P} _{ 2 } , \mathrm{C} _{ 2 } , \mathrm{D} _{ 2 } , \mathrm{Q} _{ 2 } 를 잡고, 이등변삼각형 \mathrm{P} _{ 2 } \mathrm{Q} _{ 2 } \mathrm{A} _{ 2 } 에 색칠하여 얻은 그림을 R _{ 2 } 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S _{ n } 이라 할 때, \lim\limits _{ n \to \infty } S _{ n } 의 값은 ? contenthub figure ① \dfrac { 9 } { 40 } ② \dfrac { 1 } { 4 } ③ \dfrac { 11 } { 40 } ④ \dfrac { 3 } { 10 } ⑤ \dfrac { 13 } { 40 }