2023년 고3 4월 모의고사 (미적분) 28번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{AB}_{1}} = 2 , \overline{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}} = \sqrt{3} , \overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}} = 1 이고 \angle \mathrm{C}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{A} = \dfrac{\pi}{2} 인 사다리꼴 \mathrm{AB}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} 이 있다. 세 점 \mathrm{A} , \mathrm{B}_{1} , \mathrm{D}_{1} 을 지나는 원이 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} 과 만나는 점 중 \mathrm{B}_{1} 이 아닌 점을 \mathrm{E}_{1} 이라 할 때, 두 선분 \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1} , \mathrm{C}_{1}\mathrm{E}_{1} 과 호 \mathrm{E}_{1}\mathrm{D}_{1} 로 둘러싸인 부분과 선분 \mathrm{B}_{1}\mathrm{E}_{1} 과 호 \mathrm{B}_{1}\mathrm{E}_{1} 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \mathrm{AB}_{1} 위의 점 \mathrm{B}_{2} , 호 \mathrm{E}_{1}\mathrm{D}_{1} 위의 점 \mathrm{C}_{2} , 선분 \mathrm{AD}_{1} 위의 점 \mathrm{D}_{2} 와 점 \mathrm{A} 를 꼭짓점으로 하고 \overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}} : \overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}} = \sqrt{3} : 1 이고 \angle \mathrm{C}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{A} = \dfrac{\pi}{2} 인 사다리꼴 \mathrm{AB}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 를 그린다. 그림 R_{1} 을 얻은 것과 같은 방법으로 점 \mathrm{E}_{2} 를 잡고, 사다리꼴 \mathrm{AB}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2} 에 전과 동일한 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n \to \infin} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① \dfrac{49}{144}\sqrt{3} ② \dfrac{49}{122}\sqrt{3} ③ \dfrac{49}{100}\sqrt{3} ④ \dfrac{49}{78}\sqrt{3} ⑤ \dfrac{7}{8}\sqrt{3}