2023년 고3 7월 모의고사 (미적분) 27번 풀이

그림과 같이 \overline{\mathrm{AB}_{1}}=\overline{\mathrm{AC}_{1}}=\sqrt{17} , \overline{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=2 인 삼각형 \mathrm{AB}_{1}\mathrm{C}_{1} 이 있다. 선분 \mathrm{AB}_{1} 위의 점 \mathrm{B}_{2} , 선분 \mathrm{AC}_{1} 위의 점 \mathrm{C}_{2} , 삼각형 \mathrm{AB}_{1}\mathrm{C}_{1} 의 내부의 점 \mathrm{D}_{1} 을 \overline{\mathrm{B}_{1}\mathrm{D}_{1}}=\overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{D}_{1}}=\overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}}=\overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{1}} , \angle \mathrm{B}_{1}\mathrm{D}_{1}\mathrm{B}_{2}=\angle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{\pi}{2} 가 되도록 잡고, 두 삼각형 \mathrm{B}_{1}\mathrm{D}_{1}\mathrm{B}_{2} , \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}\mathrm{C}_{2} 에 색칠하여 얻은 그림을 R_{1} 이라 하자. 그림 R_{1} 에서 선분 \mathrm{AB}_{2} 위의 점 \mathrm{B}_{3} , 선분 \mathrm{AC}_{2} 위의 점 \mathrm{C}_{3} , 삼각형 \mathrm{AB}_{2}\mathrm{C}_{2} 의 내부의 점 \mathrm{D}_{2} 를 \overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{D}_{2}}=\overline{\mathrm{B}_{3}\mathrm{D}_{2}}=\overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}}=\overline{\mathrm{C}_{3}\mathrm{D}_{2}} , \angle \mathrm{B}_{2}\mathrm{D}_{2}\mathrm{B}_{3}=\angle \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{\pi}{2} 가 되도록 잡고, 두 삼각형 \mathrm{B}_{2}\mathrm{D}_{2}\mathrm{B}_{3} , \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}\mathrm{C}_{3} 에 색칠하여 얻은 그림을 R_{2} 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n 번째 얻은 그림 R_{n} 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_{n} 이라 할 때, \lim\limits_{n\to\infty} S_{n} 의 값은? contenthub figure ① 2 ② \dfrac{33}{16} ③ \dfrac{17}{8} ④ \dfrac{35}{16} ⑤ \dfrac{9}{4}