2023년 고3 7월 모의고사 18번 풀이

모든 자연수 n 에 대하여 세 점 \left(n-1,1\right) , \left(n,0\right) , \left(n,1\right) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 T_{n} , 직선 y = \dfrac{x}{n} 가 직선 y = 1 과 만나는 점을 {{\text{A}}}_{n} , 점 {{\text{A}}}_{n} 에서 x 축에 내린 수선의 발을 {{\text{B}}}_{n} 이라 할 때, 삼각형 T_{1} , T_{2} , \cdots , T_{n} 의 내부와 삼각형 {{\text{OA}}}_{n}{{\text{B}}}_{n} 의 내부의 공통부분의 넓이를 a_{n} 이라 하자. 예를 들어, 그림과 같이 a_{3} 은 세 삼각형 T_{1} , T_{2} , T_{3} 의 내부와 삼각형 {{\text{OA}}}_{3}{{\text{B}}}_{3} 의 내부의 공통부분의 넓이를 나타내고 a_{3} = \dfrac{7}{12} 이다. a_{50} 의 값은? (단, {{\text{O}}} 는 원점이다.) HML 원본 그림 ① \dfrac{49}{6} ② \dfrac{101}{12} ③ \dfrac{26}{3} ④ \dfrac{107}{12} ⑤ \dfrac{55}{6}