2023년 고3 10월 모의고사 (공통) 22번 풀이

삼차함수 f(x) 에 대하여 구간 (0,\:\infty) 에서 정의된 함수 g(x) 를 g(x)=\begin{cases} x^{3}-8x^{2}+16x&(0 < x\le 4)\\ f(x)&(x > 4)\end{cases} 라 하자. 함수 g(x) 가 구간 (0,\:\infty) 에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, g(10)=\dfrac{q}{p} 이다. p+q 의 값을 구하시오. (단, p 와 q 는 서로소인 자연수이다.) (가) \:g\left(\dfrac{21}{2}\right)=0 (나) 점 (-2,\:0) 에서 곡선 y=g(x) 에 그은, 기울기가 0 이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다.