(2023년 시행) 2024학년도 수능 (기하) 28번 풀이

그림과 같이 서로 다른 두 평면 \alpha , \beta 의 교선 위에 \overline{\text{AB}}=18 인 두 점 \text{A} , \text{B} 가 있다. 선분 \text{AB} 를 지름으로 하는 원 C_{1} 이 평면 \alpha 위에 있고, 선분 \text{AB} 를 장축으로 하고 두 점 \text{F} , \text{F}^{\prime} 을 초점으로 하는 타원 C_{2} 가 평면 \beta 위에 있다. 원 C_{1} 위의 한 점 \text{P} 에서 평면 \beta 에 내린 수선의 발을 \text{H} 라 할 때, \overline{\text{HF}^{\prime}} < \overline{\text{HF}} 이고 \angle \text{HFF}^{\prime}=\dfrac{\pi}{6} 이다. 직선 \text{HF} 와 타원 C_{2} 가 만나는 점 중 점 \text{H} 와 가까운 점을 \text{Q} 라 하면, \overline{\text{FH}} < \overline{\text{FQ}} 이다. 점 \text{H} 를 중심으로 하고 점 \text{Q} 를 지나는 평면 \beta 위의 원은 반지름의 길이가 4 이고 직선 \text{AB} 에 접한다. 두 평면 \alpha , \beta 가 이루는 각의 크기를 \theta 라 할 때, \cos \theta 의 값은? (단, 점 \text{P} 는 평면 \beta 위에 있지 않다.) contenthub figure ① \dfrac{2\sqrt{66}}{33} ② \dfrac{4\sqrt{69}}{69} ③ \dfrac{\sqrt{2}}{3} ④ \dfrac{4\sqrt{3}}{15} ⑤ \dfrac{2\sqrt{78}}{39}