Problem 29
2024년 고3 3월 모의고사 (미적분) 29번 풀이
자연수 n 에 대하여 함수 f(x) 를 f(x)=\dfrac{4}{n^{3}} x^{3}+1 이라 하자. 원점에서 곡선 y=f(x) 에 그은 접선을 l_{n} , 접선 l_{n} 의 접점을 \mathrm{P}_{n} 이라 하자. x 축과 직선 l_{n} 에 동시에 접하고 점 \
문제
자연수 n 에 대하여 함수 f(x) 를 f(x)=\dfrac{4}{n^{3}} x^{3}+1 이라 하자. 원점에서 곡선 y=f(x) 에 그은 접선을 l_{n} , 접선 l_{n} 의 접점을 \mathrm{P}_{n} 이라 하자. x 축과 직선 l_{n} 에 동시에 접하고 점 \mathrm{P}_{n} 을 지나는 원 중 중심의 x 좌표가 양수인 것을 C_{n} 이라 하자. 원 C_{n} 의 반지름의 길이를 r_{n} 이라 할 때, 40\times\lim\limits_{n\to\infty} n^{2}\left(4r_{n}-3\right) 의 값을 구하시오. contenthub figure
정답
$270$
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