2024년 고3 5월 모의고사 (미적분) 30번 풀이

수열 \left \{a_{n}\right\} 은 공비가 0 이 아닌 등비수열이고, 수열 \left \{b_{n}\right\} 을 모든 자연수 n 에 대하여 b_{n}= \begin{cases} a_{n}& \left ( \left|a_{n}\right| < \alpha \right) \\ - \dfrac{5}{a_{n}}& \left ( \left|a_{n}\right| \ge \alpha \right) \end{cases} ( \alpha 는 양의 상수) 라 할 때, 두 수열 \left \{a_{n}\right\} , \left \{b_{n}\right\} 과 자연수 p 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}= 4 (나) \displaystyle \sum_{n = 1}^{m}\dfrac{a_{n}}{b_{n}} 의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 m 은 p 이고, \displaystyle \sum_{n = 1}^{p}b_{n}= 51 , \displaystyle \sum_{n = p + 1}^{\infty}b_{n}= \dfrac{1}{64} 이다. 32 \times \left (a_{3}+ p \right) 의 값을 구하시오.