2024년 고3 7월 모의고사 (미적분) 28번 풀이

최고차항의 계수가 1 이고 역함수가 존재하는 삼차함수 f(x) 에 대하여 함수 f(x) 의 역함수를 g(x) 라 하자. 실수 k\:(k > 0) 에 대하여 함수 h(x) 는 h(x)=\begin{cases} \dfrac{g(x)-k}{x-k} & (x \ne k) \\ \dfrac{1}{3} & (x=k) \end{cases} 이다. 함수 h(x) 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 함수 f(x) 에 대하여 f^{\prime}(0) 의 값이 최대일 때, k 의 값을 \alpha 라 하자. (가) h(0)=1 (나) 함수 h(x) 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. k=\alpha 일 때, \alpha \times h(9) \times g^{\prime}(9) 의 값은? ① \dfrac{1}{84} ② \dfrac{1}{42} ③ \dfrac{1}{28} ④ \dfrac{1}{21} ⑤ \dfrac{5}{84}